Булевыми функциями (или функциями алгебры логики или истинностными функциями) называются функции, значения которых равны 0 или 1 и аргументы которых принимают только два значения 0 и 1.
Булевы функции могут быть заданы специальными таблицами истинности или аналитически в виде специальных высказывательных форм, называемых иногда булевыми формами.
Выражения, содержащие одну или несколько переменных (аргументов), соединенных знаками логических операций, называются логическим формами . Высказывания, не содержащие ни одной переменной, называются константами. В логике, в отличие от арифметики, только две константы 0 - false и 1- true.
Напомним, что форма называется числовой, если при допустимом значении своих аргументов, она обозначает число (является числом). Булева форма является частным случаем числовой формы. Т.о. при помощи суперпозиции, исходя из логических операций над логическими переменными, можно строить сложные составные высказывания и затем вычислятьих. Такого рода составные высказывания являются частным случаем так называемых булевых функций, которые являются предметом изучения математической логики. Обобщая все сказанное, можно дать определение булевых функций:
Булевыми функциями, называются предикаты, все аргументы которых определены на множестве {0, 1}, интерпретируемые как {ложь, истина}.
Можно сказать, что понятие булевой функции является частным случаем понятия предиката. Отличие состоит лишь в том, что у булевой функции четко фиксирована как область определения {0, 1}, так и область значений функции {0, 1}, в то время как у предиката четко фиксирована только одна область значений {0, 1}, в то время как область определения задана произвольным множеством.
В свою очередь понятие предиката является частным случаем понятия функции, отличие состоит в том, что у предиката четко фиксирована область значений {0, 1}, а у функции это может быть вся числовая ось.
2.4 Основные логические связи.
Будем называть высказывание простым (элементарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое (аналогично атому или элементу множества). Обычно к ним относят высказывания, не содержащие логических связок.Сложным (составным) называетсявысказывание, составленное из простых с помощьюлогических связок.
В естественном языке (при вербальном описании явления) роль связок при составлении сложных предложений из простых играют грамматические средства: союзы "и", "или", "не"; слова "если..., то", "либо... либо" (в разделительном смысле), "тогда и только тогда, когда" и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определенными точно. Рассмотрим основные логические связки.
Отрицание (логическая связь "не")
Записывается Р=Ā или в виде P= ¬A (Читается "Р есть не А"). Отрицанием называется сложное логическое высказывание Р, которое истинно, если А ложно и наоборот. Эта логическая связь может быть проиллюстрирована табл. 3.1, в которой показаны значения истинности сложного высказывания Р в зависимости от значения истинности составляющего его простого высказывания А. Логический элемент «не» в схемах управления часто называется таблица 2.1 схемах управления, часто называетсяинвертором. Условное обозначение инвертора показано на рис. 2.1. Также ниже (рис. 2.2) приведена диаграмма Венна.
Табл. 2. 1
Рис. 2.1 Условное обозначение инвертора
Рис. 2.2
Рис. 2.3 Диаграмма Венна (отрицание)
Отрицание является простейшей логической операцией и единственной логической операцией, выполняемой над одним аргументом.
Заметим, что последовательное выполнение двух операций отрицания Ā приводит к исходному значению А.
Чтобы выявить такие связи, надо соотносить следующие одно за другим предложения. Это поможет понять логику их отношений, а уяснив ее, проверить ее состоятельность, т.е. надо соседние предложения или их части соотносить по смыслу, используя для этого приемы, которые способствуют углубленному пониманию текста: антиципацию (предвосхищение) последующего содержания и вопросы к прочитанному тексту, ответ на них должен по логике вещей дать в последующий текст. Например:
Победа Красной Армии на фронтах Гражданской войны и окончательный разгром интервентов поставили перед советским народом труднейшие задачи в области культурного строительства.
Здесь первая часть фразы выглядит причиной того, о чем говорит вторая часть. Получается, что именно победа Красной Армии затруднила советскому народу культурное строительство. На самом же деле не победа, а тяготы войн осложнили его задачи. Связь между победой и трудностями не причинная, а временная: после победы. Логическую погрешность
эту легко пропустить, если не сопоставлять части фразы между собой.
Другой пример:
Однако полностью решить проблему перераспределения книжных фондов по территории страны в первые годы Советской власти не удалось. Национализированная литература главным образом оседала в научных городских общедоступных библиотеках.
Первая фраза этого текста заставляет предположить, что дальше должно последовать объяснение и что, скорее всего, речь пойдет о транспортных трудностях, о том, что библиотеки были сосредоточены главным образом в городах центра страны. Но предположения не оправдались. В чем же дело? Вдумываясь во вторую фразу, редактор не может не сделать вывод, что она говорит лишь о непропорциональном распределении книг между городом и селом, а не по территории страны. А если так, то либо первая фраза неточна и ее нужно уточнить с учетом содержания второй, либо никуда не годится вторая фраза, поскольку она не подтверждает положение в первой.
Если читать первую фразу, не задаваясь предположением о том, чту последует во второй фразе, легко упустить логическую связь между ними. Того же самого можно было добиться, задав по прочтении первой фразы вопрос: «Почему не удалось?». Тогда невольно надо будет искать ответ во второй фразе, т.е. упустить связь между ними уже будет сложно.
Еще пример из печати:
Для библиотек, обслуживающих подрастающее поколение, решающим является также возрастной принцип, основанный на глубоком и всестороннем знании индивидуальных и психологических особенностей читателей-детей.
Прочитав первую часть фразы, редактор поступит правильно, если поставит такой вопрос: «Каким образом решает возрастной принцип?» Этот вопрос обяжет его искать ответ во второй части и проанализировать логическую состоятельность связи между двумя частями фразы. В самом деле, какая связь между индивидуальными особенностями детей и возрастным принципом? Психологические особенности у детей разных возрастов действительно разные, но индивидуальные с возрастом вряд ли связаны. Логическая связь наличествует, но состоятельной ее не назовешь. А выявить ее, если не поставить вопрос, довольно сложно.
Редактор - слушатель курсов повышения квалификации принес в качестве логически несостоятельного такой пример из программы радиопередач:
16.55.- Сильнейшие шахматистки мира. В передаче принимают участие Н. Гаприндашвили, М. Чибурданидзе, Н. Александрия и М. Ботвинник.
Слушатель посчитал, что программа обратила Михаила Ботвинника в женщину: ведь название передачи «Сильнейшие шахматистки мира». Пожалуй, это придирка. Действительно ли здесь вторая фраза иллюстрирует первую? Или она только передает состав выступающих шахматистов? Скорее, второе. Однако возможность двоякого толкования текста читателями все же требовала внести поправку, например:
16.55.- Сильнейшие шахматистки мира. Выступят Н. Гаприндашвили, М. Чибурданидзе, Н. Александрия. В передаче принимает участие Михаил Ботвинник.
Текст стал безупречным. А сделать его таким помогло сопоставление текста заглавия передачи с дальнейшим раскрытием ее содержания.
Другой слушатель курсов принес еще более интересный пример:
Кораблям не спится в порту.
Им снятся моря, им снятся ветра.
«Как же так, - сказал слушатель, наученный сопоставлению фраз, - не спится, а в то же время сны? Верно ли? Как можно видеть что-либо во сне, если сон не идет?»
А может быть, потому не спится, что стоит только заснуть, как снится море, ветер - и сон уходит? Такая связь возможна, но тогда между фразами надо поставить не точку, а двоеточие, выразив им причинную связь между снами и бессонницей.
Бывают случаи, когда по ходу чтения текста, в котором логическая связь между суждениями ни словесно, ни пунк- туационно не выражена, связь эта благодаря непроизвольному соотнесению суждений сама бросается в глаза, но ка- жегся ошибочной, несуразной. Никогда в таких случаях не следует торопиться с выводом о логической ошибке. Потому что между суждениями, логическая связь между которыми ни словесно, ни пунктуационно не выражена, могут быть установлены разные отношения, в том числе и неверные. Надо проверить, не могут ли суждения бьггь связаны по-другому, вполне логично.
В воспоминаниях писательницы Галины Серебряковой есть такие строки:
Горький восторгался их [женщин] героизмом и самоотверженностью.
Пишите о женщинах, не следует прятаться, как Жорж Санд, за мужскими псевдонимами.
Между двумя суждениями реплики Горького в передаче Серебряковой логическая связь словесно не выражена. Суждения разделены после слова женщинах запятой, логическое значение которой скрыто. На месте запятой могла стоять и точка. Ничего бы не изменилось. Точка отделяла бы одно предложение от другого. Уяснить суть логических отношений двух предложений знаки препинания никак не помогают.
Многие читатели поначалу воспринимают второе предложение как развивающее первое. По самому построению предложений им представляется: если в первом Горький советует, что делать надо, то во втором он, продолжая свою мысль, подсказывает, что в противовес этому делать не надо. Именно в противовес: так надо, а вот так нельзя. Пишите о женщинах, а не прячьтесь за мужскими псевдонимами - вот начальное восприятие логических отношений между двумя суждениями. На место запятой многие читатели невольно подставляют союз а, и сами этому улыбаются. И зря. Потому что по содержанию суждения не противостоят друг другу. И на критически-иронический вопрос читательницы-редактора: «Что же имел в виду Горький? Призывал писать о женщинах а не прятаться, как Аврора Дюдеван, за мужскими псевдонимами?» - надо ответить: «Он не противопоставлял одно суждение другому, а присоединял второе к первому. Если бы между двумя предложениями Серебрякова поставила союз и, а по смыслу именно он здесь требуется, возможность неправильного прочтения была бы исключена:
Пишите о женщинах. И не следует прятаться, как Жорж Санд, за мужскими псевдонимами.
Теперь в реплике Горького ничего не покажется нелогичным.
Итак, в случаях, когда логическая связь ни словесно, ни пунктуационно не выражена и по первому впечатлению представляется ошибочной, не надо торопиться с выводом. Лучше тщательно соотнести суждения по содержанию, определить, какие именно логические связи между ними возможны, и, чтобы не смущать читателя или не заставлять его проделывать ту же затягивающее чтение работу, словесно или пунктуационно уточнить характер логических отношений.
С другой стороны, даже при первом правильном прочтении подобных текстов полезно представить себе, нельзя ли их прочитать по-иному - с ошибочной логической связью, чтобы, предвидя это, посоветовать автору уточнить текст.
Особенности логических законов и их связь с принципами мышления
Теоретическую основу любой науки составляют законы, которым подчиняются ее объекты. Существуют такие законы и в логике. Но прежде чем рассматривать законы логики, целесообразно раскрыть понятие закона вообще.
С точки зрения современных научных представлений окружающий нас мир есть единое целое. Связность – всеобщее свойство составляющих его элементов. Это способность предметов и явлений существовать не порознь, а вместе, вступая в те или иные связи и отношения. При этом образуются целостные системы – атом. Солнечная система, живой организм, общество и т. п. Эти связи и отношения многообразны. Они могут быть внешними и внутренними, существенными и несущественными, случайными и необходимыми и т. д. Одним из видов связей является и закон.
Закон – это внутренняя, существенная и необходимая связь между предметами и явлениями, повторяющаяся всегда и всюду при определенных условиях.
Каждая наука изучает свои специфические законы. Так, в физике – это законы всемирного тяготения, сохранения и превращения энергии и т. д. В юридических науках – это законы возникновения и развития государства и права и другие. Все эти законы превращают отдельные элементы, изучаемые науками, в стройные и связные теоретические системы.
Мышление тоже имеет связный характер, но его связность качественно иная. Структурными элементами здесь выступают не сами вещи, а лишь мысли, то есть отражения вещей. Поэтому связность проявляется в том, что возникающие и циркулирующие в головах людей мысли существуют не отдельно и изолированно одна от другой, подобно осколкам разбитого зеркала, в каждом из которых отражаются лишь какие-то отдельные кусочки действительности. Они так или иначе связаны между собой, образуя более или менее стройные системы знаний вплоть до наиболее общей системы взглядов и представлений о мире в целом и отношении к нему человека (мировоззрение).
В логике аналогом любой формы целостности, в которой прослеживаются те или иные связи, выступает универсум – та совокупность объектов, мыслимая как единое целое, на элементах которой мы рассматриваем необходимые нам связи. Универсум задает предметную область логических действий, связывает в одно целое все части рассуждений. Например, если мы собираемся рассматривать боевые машины, то универсумом выступают все боевые машины, существующие сейчас, существовавшие ранее и те, которые будут существовать в будущем.
Итак, логический универсум представляет собой систему, в которой отдельные элементы связаны между собой в процессе рассуждения определенными связями. О каких же связях идет речь? Поскольку мышление имеет содержание и форму, то эти связи двоякого рода – содержательные и формальные. Так, в высказывании «Москва есть столица» содержательная, или фактическая, связь состоит в том, что мысль о конкретном городе – Москве соотносится с мыслью о специфических городах – столицах. Но здесь есть и иная, формальная связь между самими формами мыслей – понятиями. Она выражается в русском слове «есть» и означает, что один предмет включается в группу предметов. С изменением содержания высказывания меняется и содержательная связь, а формальная может повторяться сколь угодно долго. Так, в высказываниях «Право есть общественное явление» и «Конституция есть закон» содержательная связь каждый раз новая, а формальная – одна и та же. Так вот логика изучает не содержание высказываний, а их форму. Соответственно, формальные связи между высказываниями получили название «логические связи». Логических связей так же существует огромное множество. Это связи между признаками в понятии и самими понятиями, между элементами суждения и самими суждениями и т. п. Они выражаются союзами «и», «или», «если…то» и другими. В них отражаются реальные, объективно существующие связи и отношения между предметами и явлениями действительности: соединения, разъединения, обусловленности и прочее. Особым видом логической связи является закон мышления, или закон логики.
Закон логики – это внутренняя, необходимая и существенная связь между мыслями в процессе рассуждения, рассматриваемая со стороны ее формы.
Происхождение законов мышления обязано рациональной активности человека. Выраженная в правилах, нормах и рекомендациях, целесообразная активность находит свое воплощение в принципах, имеющих всеобщий характер.
В мышлении действуют разные законы. Прежде всего выделим те, с помощью которых раскрывается развитие и функционирование объективного мира и процесс познания. Это законы диалектической логики. Формальная же логика изучает законы связей между мыслями в процессе рассуждения.
Законы формальной логики сложились на основе многовековой практики человеческого познания. Такая долгая история позволила выявить специфические черты, присущие именно законам формальной логики. В отличие от законов естествознания, которые описывают связь явлений природы, многократно повторяемую в идентичных условиях, законы мышления предписывают определенные способы интеллектуальной деятельности. Цель законов логики – сформулировать основания, фундамент правил и рекомендаций, следуя которым можно достичь истины. Поэтому законы мышления не являются законами в том смысле, в котором указанный термин используется для описания явлений природы.
С другой стороны, существуют социальные законы: юридические акты, государственные указы и т. п. Они устанавливаются людьми и имеют исторический характер. Законы мышления, в отличие от них, имеют внеисторический характер и связаны с характером мыслительной деятельности человека как биологического существа.
Еще одной особенностью законов логики является то, что их невозможно ни опровергнуть, ни подтвердить. Они представляют собой априорные, известные до всякого опыта истины. Исходя из этого, логические законы содержат только логические константы и переменные. Таким образом, они являются истинными в любой непустой области объектов. Какие бы конкретные высказывания не подставлялись в эти законы вместо переменных, всегда будут получаться истинные высказывания.
Кроме того, в логике используются принципы человеческого мышления, часто называемые основными законами логики, хотя более правильно назвать их законами человеческого мышления. Это прежде всего закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего и закон достаточного основания. Основные законы мышления – это очевидные утверждения, являющиеся аксиомами. Они образуют фундамент логики как науки.
Из книги Хайдеггер и восточная философия: поиски взаимодополнительности культур автора Корнеев Михаил Яковлевич§2. Категории бытия и мышления Шанкары в сопоставлении с категориями бытия и мышления Хайдеггера в интерпретации Дж. Мехты Современные индийские философы проявляют довольно большой интерес к творчеству Хайдеггера, и одним из наиболее ярких примеров этого интереса могут
Из книги Логика: конспект лекций автора Шадрин Д А1. Понятие логических законов Законы логики известны еще с античных времен - закон тождества, непротиворечия и исключенного третьего. Все они были открыты Аристотелем. Закон достаточного основания был открыт Лейбницем. Они имеют большое значение для науки, являются
Из книги Логические ошибки. Как они мешают правильно мыслить автора Уемов Авенир1. На какие законы мышления опираются правила логических форм Мы познакомились с логическими формами мышления. Теперь можно выяснить, какие правила должны соблюдаться в каждой из этих форм мысли для того, чтобы мыслить правильно и избежать логических ошибок в
Из книги Стратегии гениев (Аристотель Шерлок Холмс Уолт Дисней Вольфганг Амадей Моцарт) автора Дилтс РобертСхема логических уровней Окружение определяет внешние возможности, либо ограничивающие факторы, на которые индивидуум должен реагировать. Относится к где? и когда гениальности. Поведение - это особые действия или реакции, производимые индивидуумом в пределах
Из книги Логика автора Шадрин Д А33. Понятие логических законов Законы логики известны еще с античных времен – закон тождества, непротиворечия и исключенного третьего. Все они были открыты Аристотелем. Закон достаточного основания был открыт Лейбницем. Они имеют большое значение для науки, являются
Из книги Избранные труды автора Щедровицкий Георгий ПетровичПринцип «параллелизма формы и содержания мышления» и его значение для традиционных логических и психологических исследований I. Два плана исследования языковых рассуждений1. Языковое мышление, как и всякий другой объект, можно рассматривать с разных точек зрения, и
Из книги Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Книга 1 автора Гуссерль Эдмунд§ 17. Завершение логических рассуждений Все наше рассуждение было чисто логическим, оно не осуществлялось в какой-либо «материальной» сфере, или, как мы говорим, и это равнозначно, оно не осуществлялось ни в каком определенном регионе, тут речь шла вообще о регионах и
Из книги Учебник логики автора Челпанов Георгий ИвановичГлава 26. О логических ошибках Вот мы и добрались до самого интересного, до логических ошибок. Важнейшую часть цивилизованной дискуссии занимает поиск ошибок оппонента и чёткое указание на них.Логические ошибки принято делить на две группы. Собственно ошибки логики, и
Из книги Логика. Том 1. Учение о суждении, понятии и выводе автора Зигварт Христоф§ 52. Выводы на основании формальных логических законов На общей сущности самого суждения, которая при всяком содержании является той же самой, покоятся так называемые непосредственные выводы, которые суть лишь преобразования данного суждения. В качестве таковых
Из книги Логика для юристов: Учебник. автора Ивлев Юрий Васильевич Из книги Логика: Учебник для студентов юридических вузов и факультетов автора Иванов Евгений Акимович4. Связь мыслей. Закон мышления Проявляясь в различных формах, мышление в процессе своего функционирования обнаруживает определенные закономерности. Поэтому другой фундаментальной категорией в логике выступает «закон мышления», или, по имени самой науки, «закон
Из книги Логика для юристов: учебник автора Ивлев Ю. В.1. Сфера действия диалектических законов мышления Как и громадное большинство законов природы и общества, основные формально-логические законы мышления носят относительный характер. Это означает, что они действуют в определенных условиях, а именно когда
Из книги История марксизма-ленинизма. Книга вторая (70 – 90-е годы XIX века) автора Коллектив авторов Из книги автора2. Требования, вытекающие из основных формально-логических законов, и логические ошибки, связанные с их нарушением 1. С какими требованиями, вытекающими из основных формально-логических законов, связаны следующие высказывания: «Всякое слово имеет некоторый определенный
Из книги автора§ 1. ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ МИРА ПОСРЕДСТВОМ АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ Познание представляет собой отражение объективной реальности в сознании человека. Это отражение не является зеркальным.По характеру отражения в процессе познания выделяют две ступени, которые тесно
Из книги автораУровни знания и способы его получения. Анализ логических форм мышления Подвергнув всестороннему диалектическому анализу исторический путь науки в контексте духовно-практического освоения человеком окружающей его действительности, Энгельс внес большой вклад в
Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика - это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно их главных её достоинств - возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.
Суждения и высказывания
Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение - это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.
Суждение - это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.
В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «Theskyisblue» - разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.
Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» - истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» - ложное.
Рисунки последовательно представляют отношения: пересечения, дополнительности, подчинения, равнообъёмности и обратного подчинения. С первыми тремя картинками всё должно быть довольно ясно: видно, что объёмы терминов S и P пересекаются, поэтому в области пересечения находятся элементы, которые одновременно обладают и признаком S и признаком P. Примеры истинных высказываний таких типов: «Некоторые актёры хорошо поют», «Некоторые автомобили с ценой ниже миллиона стоят больше шестисот тысяч», «Некоторые грибы съедобны».
Что касается отношений равнообъёмности и обратного подчинения, то может возникнуть вопрос, почему они тоже представляют собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, если на картинках, обозначающих их, чётко видно, что не только некоторые S есть P, но все S есть P. Правда, естественный язык толкает нас к идее, что если некоторые S есть P, то ещё существуют и другие S, которые не есть P: некоторые грибы съедобны, а некоторые несъедобны. Для логиков такое заключение неверно. Из высказывания «Некоторые S есть P» нельзя вывести заключение, что некоторые S не есть P. Зато из высказывания «Все S есть P» можно заключить, что и некоторые S есть P, потому что если что-то верно относительно всех элементов объёма термина, то оно будет верно и относительно некоторых отдельных элементов. Поэтому в силлогистике слово «некоторые» употребляется в значении «по крайней мере некоторые», но не в значении «только некоторые». Таким образом, из высказывания «Все папоротники размножаются спорами» можно смело вывести и высказывание «Некоторые папоротники размножаются спорами», а из высказывания «Все ученики пятого класса являются пионерами» - высказывание «Некоторые ученики пятого класса являются пионерами».
Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы - это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».
Типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих :
Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».
По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.
Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».
Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.
Игра "Пересечение множеств"
В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.
Упражнения
Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.
- Всё действительное разумно, всё разумное действительно.
- Соль - это яд.
- Яд - это соль.
- Все музыканты имеют хороший слух.
- Некоторые музыканты имеют хороший слух.
- Все люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
- Некоторые люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
- Некоторые вампиры опоздали на работу.
- Волколаки - это разновидность оборотней.
- Все круглые квадраты не имеют углов.
- Никто не любит, когда у него болят зубы.
- Ни один попугайчик не пьёт виски.
- Некоторым не нравится их работа.
- Иван Иванович поссорился с Иваном Никифоровичем.
- Фильмы Тарковского считаются классикой русского кино.
- Достоевский никогда не играл в карты.
- Некоторые куздры совсем не глокие.
- Каждый сотрудник мечтает о повышении.
- Некоторые псы умеют читать.
- Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему.
- Некоторые акулы - это рыбы.
- Некоторые люди не летали на Марс.
Проверьте свои знания
Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.
