На основании принципа Даламбера справедливы равенства:
где – активная сила; – реакция связей; – сила инерции точки (рис. 3.36).
Умножая скалярно каждое из соотношений (3.45) на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим
(3.46)
Равенство (3.46) – общее уравнение динамики для механической системы с любыми связями. Если связи идеальные, то 
и выражение (3.46) принимает одну из форм:
Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера–Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы.
Обобщенные координаты
Пусть система состоит из N
точек и положение ее определяется 3N
координатами точек системы 
(рис. 3.37). На систему наложены l
голономных двухсторонних связей, уравнения которых 
s
=1,2,…,l
.
Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n =3N -l .
В качестве n
независимых координат можно выбрать любые независимые параметры 
Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы .
| Рис. 3.37 |
В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы:
Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты:
Для радиус–вектора каждой точки системы получим
Если связи стационарные, то время в (3.47) явно входить не будет. Для голономных связей вектор возможного перемещения точки можно выразить в форме:
Если связи голономные, то число независимых возможных перемещений (или вариаций ) совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n =3N -l.
Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы.
Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются 
Обобщенные силы
| Рис. 3.38 |
Определение обобщенных сил
. Рассмотрим голономную систему из N
материальных точек, имеющую n
степеней свободы и находящуюся под действием системы сил 
(рис. 3.38). Положение системы определяется n
обобщенными координатами 
т.е.
Вектор возможного перемещения –
(3.48)
Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:
(3.49)
Подставляя (3.48) в (3.49) и меняя порядок суммирования, получим
(3.50)
Скалярная величина 
называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате q i .
Размерность обобщенной силы . Из формулы (3.50) получается размерность обобщенной силы [Q ]=[A ]/[q ]. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Н×м].
Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:
где F kx ,F yx ,F kz – проекции силы на оси координат; x k ,y yx ,z k – координаты точки приложения силы
2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (3.50):
3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата q j то из (3.52) имеем
Индекс q i в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата q i .
4. Для потенциальных сил:
(3.53)
где – силовая функция.
Из выражения (3.51) с учетом равенств (3.53) следует,
Таким образом,
где потенциальная энергия системы.
3.5.6. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Условия равновесия сил
Общее уравнение динамики (3.50)
Вектор возможного перемещения согласно (3.48) равен
С учетом этого выражения общее уравнение динамики принимает вид
Преобразуем его, поменяв порядок суммирования
(3.54)
Здесь 
– обобщенная сила активных сил, соответствующая обобщенной координате q i
; 
– обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q i
.Тогда уравнение (3.54) принимает вид
Приращения обобщенных координат произвольны и независимые друг от друга. Поэтому коэффициенты при них в последнем уравнении должны быть равны нулю:
(3.55)
Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.
Если силы, действующие на механическую систему эквивалентны нулю, т.е. механическая система движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, обобщенные силы инерции системы равны нулю 
, тогда уравнения (3.55) принимают вид
(3.56)
Равенства (3.56) выражают условия равновесия сил в обобщенных силах.
В случае консервативных сил
Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид
Введение
В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагивались причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а систему отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В динамике, прежде всего, представляют интерес причины, вследствие которых некоторые тела начинают двигаться относительно других тел, а также факторы, обуславливающие появления ускорения. Однако законы в механике, строго говоря, в разных системах отсчета имеют различный вид. Установлено, что существуют такие системы отсчета, в которых законы и закономерности не зависят от выбора системы отсчета. Такие системы отсчета получили название инерциальные системы (ИСО). В этих системах отсчета величина ускорения зависит только действующих сил и не зависит от выбора системы отсчета. Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета , начало отсчета которой находится в центре Солнца. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной являются также инерциальными, а системы отсчета движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы являются неинерциальными . По этим причинам поверхности земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Во многих задач, систему отсчета, связанную с Землей, с хорошей степенью точности можно считать инерциальной.
Основные законы динамики в инерциальных и неинерциальных
Системах отсчета
Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоится в ИСО, называется инертностью тела . Мерой инертности тела является масса . Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг). Мерой взаимодействия является величина, называемой силой . Сила– величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).
Первый закон Ньютона. В инерциальных системах отсчета точка движется равномерно прямолинейно или покоится в том случае, если сумма всех сил действующих на нее равна нулю, т.е.:
где – силы, действующие на данную точку.
Второй закон Ньютона. В инерциальных системах тело движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на него не равна нулю, причем произведение массы тела на его ускорение равно сумме этих сил, т.е.:
Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.: .
Силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами.
Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона необходимо придерживаться некоторой последовательности действия (своего рода алгоритма).
Основные пункты алгоритма.
1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемое тело. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на рассматриваемое тело. Допустим, число сил, действующих на тело, равно . Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на тело.
2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемого тела, и изобразить вектор ускорения на рисунке.
3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:
где 
силы, действующие на тело.
4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направить по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.
5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:
6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.
Рассмотрим неинерциальную систему отсчета вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной системы. В этом случае ускорение точки в инерциальной системе () связано с ускорением в неинерциальной системе () соотношением:
где – ускорением неинерциальной системы относительно инерциальной системы , линейная скорость точки в неинерциальной системе. Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:
Это соотношение называется вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета.
Силы инерции. Введем обозначения:
1. – поступательная сила инерции ;
2. 
– сила Кориолиса
;
3 
– центробежная сила инерции
.
В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорением поступательного движения неинерциальной системы отсчета (), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу (); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов .
Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными.
Силы
Сила всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:
. (4)
Коэффициент пропорциональности получил название гравитационной постоянной
. Его величина в системе СИ равна 
.
Сила реакции. Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона. К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции , обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности . Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления (). По третьему закону Ньютона сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.
Сила упругости. Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости. Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими . При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия. Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:
, (5)
где коэффициент упругости (или жесткости) пружины, вектор деформации пружины.
Данное утверждение получило название закона Гука.
Сила трения. При движении одного тела по поверхности другого возникают силы, препятствующие этому движению. Такие силы принято называть силами трения скольжения . Величина силы трения покоя может изменяться в зависимости от приложенной внешней силы. При некотором значении внешней силы сила трения покоя достигает максимального значения. После этого начинается скольжение тела. Экспериментально установлено, что сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления тела на поверхность. Согласно третьему закону Ньютона сила нормального давления тела на поверхность всегда равна силе реакции, с которой сама поверхность действует на движущееся тело. С учетом этого формула для вычисления величины силы трения скольжения имеет вид:
, (6)
где величина силы реакции; коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело, всегда направлена против его скорости, вдоль соприкасающихся поверхностей.
Сила сопротивления. При движении тел в жидкостях и газах возникают также силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения , или силы сопротивления . Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:
. (7)
При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:
, (8)
где некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления .
Основное уравнение динамики
Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:
. (9)
В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.
С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение –– есть основная задача динамики материальной точки.
Примеры решения задач
Задача №1. На лист бумаги помещен стакан. С каким ускорением надо привести в движение лист, чтобы выдернуть его из-под стакана, если коэффициент трения между стаканом и листом бумаги равен 0,3?
Предположим, что при некоторой силе , действующей на лист бумаги, стакан движется совместно с листом. Изобразим отдельно силы, действующие на стакан массой . На стакан действуют следующие тела: Земля с силой тяжести , лист бумаги с силой реакции , лист бумаги с силой трения , направленной по скорости движения стакана. Движение стакана является равноускоренным, следовательно, вектор ускорения направлен по скорости движения стакана.
Изобразим вектор ускорения стакана на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для сил, действующих на стакан:
.
Направим ось ОХ по вектору ускорения стакана, а ось OY ¾ вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:
(1.1)
При увеличении силы , действующей на лист бумаги, возрастает величина силы трения, с которой лист бумаги действует на стакан. При некотором значении силы величина силы трения достигает своего максимального значения, равного по величине силе трения скольжения. С этого момента начинается скольжение стакана относительно поверхности бумаги. Предельное значение силы трения связано с силой реакции, действующей на стакан следующим соотношением:
Из равенства (1.2) выражаем величину силы реакции, а затем подставляем в последнее соотношение, имеем . Из полученного соотношения находим величину силы трения и поставляем в равенство (1.1), получим выражение для определения максимального ускорения стакана:
Подставив числовые значения величин в последнее равенство, найдем величину максимального ускорения стакана:
.
Полученная величина ускорения стакана равна минимальному ускорению листа бумаги, при котором его можно «выдернуть» из-под стакана.
Ответ: .
Изобразим все силы, действующие на тело. Кроме внешней силы на тело действует Земля с силой тяжести , горизонтальная поверхность с силой реакции и силой трения , направленной против скорости движения тела. Тело движется равноускоренно, и, следовательно, вектор его ускорения направлен по скорости движения. Изобразим вектор на рисунке. Выбираем систему координат так, как показано на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:
.
Используя основное свойство векторных равенств, запишем уравнения для проекций векторов, входящих в последнее векторное равенство:
Записываем соотношение для силы трения скольжения
Из равенства (2.2) находим величину силы реакции
Из полученного выражения подставим в равенство (2.3) вместо величины силы реакции , получим выражение
Подставив полученное выражение для силы трения в равенство (2.1), будем иметь формулу для вычисления ускорения тела:
В последнюю формулу подставим числовые данные в системе СИ, найдем величину ускорения движения груза:
Ответ:
.
Для минимальной величины силы определим направление силы трения, которая действует на покоящийся брусок. Представим, что сила меньше той минимальной силы, достаточной для того, чтобы тело оставалось в покое. В этом случае тело будет двигаться вниз, и, сила трения , приложенная к нему, будет направлена вертикально вверх. Для того чтобы остановить тело, нужно увеличить величину приложенной силы . Кроме того, на данное тело действует Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз, а также стенка с силой реакции , направленной горизонтально влево. Изобразим на рисунке все силы, действующие на тело. Возьмем прямоугольную декартову систему координат, оси которой направим так, как показано на рисунке. Для покоящегося тела запишем первый закон Ньютона в векторной форме:
.
Для найденного векторного равенства запишем равенства для проекций векторов на оси координат, получим следующие уравнения:
При минимальном значении внешней силы величина силы трения покоя достигает максимального значения, равного величине силы трения скольжения:
Из равенства (3.1) находим величину силы реакции , и подставляем в равенство (3.3), получим следующее выражение для силы трения:
.
Подставим вместо силы трения в равенство (3.2) правую часть данного соотношения, получим формулу для вычисления величины приложенной силы :
Из последней формулы находим величину силы :
.
Ответ:
.
Изобразим все силы, действующие на шарик, движущийся в воздухе вертикально вниз. На него действует Земля с силой тяжести и воздух с силой сопротивления . Изобразим рассмотренные силы на рисунке. В начальный момент времени равнодействующая всех сил имеет максимальное значение, так как скорость шарика равна нулю и сила сопротивления также равна нулю. В этот момент шарик имеет максимальное ускорение, равное . По мере движения шарика скорость его движения увеличивается, и, следовательно, сила сопротивления воздуха возрастает. В некоторый момент времени сила сопротивления достигает величины, равной величине силы тяжести. С этого момента времени шарик движется равномерно. Запишем первый закон Ньютона в векторной форме для равномерного движения шарика:
.
Направим ось OY вертикально вниз. Запишем для данного векторного равенства равенство для проекций векторов на ось OY:
. (4.1)
Сила сопротивления зависит от площади поперечного сечения шарика и величины его скорости движения следующим образом:
, (4.2)
где коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.
Из равенств (4.1) и (4.2) вытекает следующее соотношение:
. (4.3)
Выразим массу шарика через его плотность и объем, а объем в свою очередь, - через радиус шарика:
. (4.4)
Из данного выражения находим массу и подставляем в равенство (4.3), получим следующее равенство:
. (4.5)
Выражаем площадь поперечного сечения шарика через его радиус:
С учетом соотношения (4.6) равенство (4.5) примет следующий вид:
.
Обозначим как радиус первого шарика; как радиус второго шарика. Запишем формулы для скоростей установившегося движения первого и второго шариков:
Из полученных равенств находим отношение скоростей:
.
Из условия задачи отношение радиусов шариков равно двум. Используя это условие, находим отношение скоростей:
.
Ответ: .
На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения , направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости. Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела. Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
.
Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY - перпендикулярно наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:
Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:
Из равенства (5.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (5.3), имеем следующее выражение для силы трения:
. (5.4)
Подставим в равенство (5.1) вместо силы трения правую часть равенства (5.4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:
Вычислим величину силы :
Ответ: .
Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е. и .
Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел. Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.: .
Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е. . Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую - вдоль вектора ускорения второго тела. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:
Учитывая, что , и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим
Из последнего равенства находим величину ускорения:
.
Из равенства (1) находим величину силы натяжения:
Ответ:
, .
На маленькое колечко при его вращении по окружности действуют две силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции , направленная к центру кольца. Изобразим эти силы на рисунке, а также покажем на нем траекторию движения колечка. Вектор центростремительного ускорения колечка лежит в плоскости траектории и направлен к оси вращения. Изобразим на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для вращающегося колечка:
.
Выберем прямоугольную систему координат, ось ОХ которой направим по центростремительному ускорению , а ось OY - вертикально вверх вдоль оси вращения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат:
Из равенства (7.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (7.1), получим выражение:
. (7.3)
Центростремительное ускорение связано с частотой вращения соотношением: 
, где радиус вращения маленького колечка. Подставим правую часть последнего равенства вместо в формулу (7.3), получим следующее соотношение:
. (7.4)
Из рисунка находим величину тангенса угла альфа 
. С учетом этого выражения равенство (7.4) примет вид:
Из последнего уравнения находим искомую высоту :
Ответ: .
На тело, вращающееся вместе с диском, действуют три силы: сила тяжести , сила реакции и сила трения , направленная к оси вращения. Изобразим все силы на рисунке. Покажем на данном рисунке направление вектора центростремительного ускорения . Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:
.
Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:
; (8.1)
. (8.2)
Запишем соотношение для центростремительного ускорения:
. (8.3)
Подставим правую часть равенства (8.3) вместо центростремительного ускорения в равенство (8.1), получим:
. (8.4)
Из равенства (8.4) видно, что величина силы трения прямо пропорциональна радиусу вращения , поэтому при увеличении радиуса вращения сила трения покоя увеличивается, и при некоторой величине сила трения покоя достигает максимального значения, равного силе трения скольжения ().
С учетом равенства (8.2), получим выражения для максимальной силы трения покоя:
.
Подставим правую часть полученного равенства вместо силы трения равенство (4), получим следующее соотношение:
Из данного уравнения находим предельное значение радиуса вращения:
Ответ:
.
Во время полета капли на нее действует две силы: сила тяжести и сила сопротивления . Изобразим все силы на рисунке. Выберем вертикально направленную ось OY, начало отсчета которой расположим на поверхности Земли. Запишем основное уравнение динамики:
.
Спроектируем равенство на ось OY, будем иметь соотношение:
Разделим обе части последнего равенства на и одновременно умножим обе части на , учтем что , получим выражение:
Разделим обе части этого выражения на 
, получим соотношение:
.
Интегрируем последнее соотношением, получаем зависимость скорости от времени: .
Константу найдем из начальных условий (
), получим искомую зависимость скорости от времени:
.
Определяем максимальную скорость из условия 
:
.
Ответ:
; .
Изобразим на рисунке силы, действующие на шайбу. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси OX, OY и OZ
Т.к. , то для всей траектории движения шайбы для силы трения справедливо формула , которая, с учетом равенства для OZ, преобразуется к виду:
С учетом этого соотношения равенство для оси OX примет вид
Спроектируем второй закон Ньютона на касательную к траектории движения шайбы в рассматриваемой точке, получим соотношение:
где – величина тангенциального ускорения. Сравнивая правые части последних равенств, делаем вывод о том, что .
Поскольку и , то учетом предыдущего соотношения имеем равенство , интегрирование которого приводит к выражению , где – константа интегрирования. Подставим в последнее выражение 
, получим зависимость скорости от угла :
Константу определим из начальных условий (когда . ) . С учетом этого запишем окончательную зависимость
.
Минимальное значение скорости достигается тогда, когда , и вектор скорости направлен параллельно оси OX а ее величина равна .
Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .
Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .
Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.
Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.
Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:
Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная
Общее уравнение динамики
- при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.
Последовательность составления:
а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;
б) сообщают системе возможные перемещения;
в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.
Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:
Возможная работа силы: 
.
Возможная работа момента (пары сил): 
.
Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.
Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:
;
;
……..………. ;
(25)
………..……. ;
,
здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :
(26)
а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :
Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.
Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .
Вычисление производится по такому правилу.
Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :
(7)
где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.
Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:
И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда
где координаты точек - функции обобщенных координат (5).
Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где 
, а координаты точек - функции обобщенных координат, то
Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.
Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат
П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).
Замечания.
Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.
Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.
Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:
(28)
Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:
(29)
В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.
Пользуясь принципом Даламбера (Ч.3 Динамика), можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к активным (заданным) и пассивным (реакции связей) силам присоединить силы инерции.
Пусть имеется СМТ с удерживающими и идеальными связями. Тогда для каждой МТ, входящей в СМТ, согласно принципу Даламбера можно записать:
Сообщив МТ, входящим
в СМТ, виртуальные перемещения 
,
умножим каждое из уравнений (3.1) на
соответствующее
,
(=1,2,…,n)
и сложим полученные выражения:
.
Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем общее уравнение динамики.
Общее уравнение динамики – уравнение Даламбера-Лагранжа :
При движении СМТ с удерживающими и идеальными связями, сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки СМТ и условно приложенных к ним сил инерции на любом виртуальном перемещении равна нулю:
. (3.2)
Общее уравнение динамики можно представить также в виде:
(3.3)
Следует также отметить, что в случае удерживающих и неидеальных связей, общее уравнение динамики примет вид:
,
(3.4)
где 
пассивные силы – силы реакции неидеальных
связей.
Принцип виртуальных
перемещений является частным случаем
общего уравнения динамики (в случае
равновесия СМТ сила инерции
).
3.2. Уравнения движения смт в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода
Из общего уравнения динамики (соотношения (3.2), (3.3)) можно вывести дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах, подобно тому, как из принципа виртуальных перемещений (2.1) были выведены условия равновесия СМТ в обобщенных координатах (2.6).
Используем следующую форму общего уравнения динамики:
.(3.5)
Пусть на СМТ, имеющую степеней свободы, наложены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение обобщенных координат q (=1,…,) и выразим через них радиус-вектор -й МТ аналогично тому, как это было представлено в формуле (1.13):
,
.
Варьируя это соотношение, получим:
,
.
(3.6)
Подставляя соотношение (3.6) в соотношение (3.5) и изменяя порядок суммирования, имеем:
.
(3.7)
Так
как все
независимы
и произвольны, то равенство (3.7) может
выполняться только тогда, когда каждый
из коэффициентов при 
равен
нулю, поэтому находим:
.
Эту систему уравнений запишем в виде:
.
(3.8)
Правая
часть соотношения (3.8) представляет
собой обобщенную силу
(формула (1.16)) соответствующую обобщенной
координате
:
.
(3.9)
Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (3.8) следующим образом:
(3.10)
Учитывая, что радиус-вектор -й МТ зависит от времени t сложным образом, получим следующее выражение для ее скорости движения:
,
(3.11)
где
– называется обобщенной скоростью (
= 1, 2,…, ).
Так
как множители 
(
= 1, 2,…, )
зависят только от обобщенных координат
и времени t
(и не зависят от обобщенных скоростей),
тодифференцируя
правую и левую часть соотношения (3.11)
по обобщенной скорости
,
приходим к соотношению:
.
(3.12)
Найдем
частную производную скорости
по обобщенной координате
,
учитывая, что обобщенные координаты
входят в правую часть равенства (3.11)
через коэффициенты при обобщенных
скоростях:
.
(3.13)
Частная производная
зависит от времениt
явно и через обобщенные координаты
,
(
).
Вычисляя полную производную по времени
от частной производной, находим:
.
(3.14)
Сравнивая правые части выражений (3.13) и (3.14), замечаем, что
.
(3.15)
Возвращаясь к формуле (3.10) и подставляя в нее тождества (3.12) и (3.15), получаем:
.
Учитывая, что
и 
приведем последнее равенство к виду:
Кинетическая энергия СМТ (Ч. 3 Динамика) определяется формулой:
,
тогда (3.16) примет вид:
.
(3.17)
Подставляя выражения (3.9) и (3.17)в уравнения (3.7), получим:
.
(3.18)
Уравнения (3.18) представляют собой дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах. Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода .
При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.
Кинетическая
энергия системы при подстановке в эти
уравнения должна быть предварительно
выражена как функция обобщенных скоростей
и
координат 
.
Это
будет квадратичная функция обобщенных
скоростей 
,
в
коэффициенты которой могут входить
обобщенные координаты 
(в частных случаях кинетическая
энергия может быть
квадратичной функцией скоростей с
постоянными коэффициентами). Обобщенные
силы 
тоже
могут быть в общем случае функциями
обобщенных координат
,
и
скоростей
.Таким
образом, в выражения 
,
и 
могут входить обобщенные координаты
и
их производные
.
Поэтому
в выражение 
войдут
уже вторые производные
.
Следовательно,
уравнения
Лагранжа второго рода (3.18) представляют
собой обыкновенные дифференциальные
уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат 
.
Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (3.18) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся СМТ с голономными связями. Во-вторых, число уравнений (3.18) не зависит от числа МТ, входящих в СМТ и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). В-третьих, силы и моменты, действующие на систему, представлены здесь в виде обобщенных сил, в которые входят только активные силы и моменты, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Лагранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов физики.
Уравнениями Лагранжа второго рода можно пользоваться и в случаях, когда на систему наложены неидеальные связи, например связи с трением скольжения и качения. В этом случае силы и моменты неидеальных связей включаются в число активных сил и моментов.
Запишем
теперь уравнения (3.18) для консервативных
голономных СМТ. В этом случае обобщенные
силы 
могут
быть выражены через потенциальную
энергию СМТ:
,
и, следовательно, уравнения (3.17) примут вид:
,
(3.19)
Принимая
во внимание, что потенциальная
энергия системы зависит от обобщенных
координат
ине
зависит от обобщенных скоростей
,
можно
еще более упростить вид уравнения
(3.19):
.
(3.20)
Введем понятие кинетического потенциала (иначе называемого функцией Лагранжа):
L к = T – П,
тогда уравнения (3.20) можно написать в форме:
.
(3.21)
Уравнения (3.21) представляют собой уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.
Просмотр: эта статья прочитана 42288 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Общие принципы динамики
Принцип Германа - Эйлера - Даламбера
Сила инерции
Принцип Даламбера (принцип кинетостатики) является одним из общих принципов механики, с помощью которого уравнениям динамики по форме придается вид уравнений статики. Принцип был предложен Германом в 1716 году, обобщен Эйлером в 1737 году.
Материальная точка М движется с ускорением под действием приложенных сил. Третий закон динамики отображает двусторонность механических процессов природы. При взаимодействии двух тел приложенные к каждому из них силы равны по модулю и направлены противоположно. Так как эти силы приложены к разным телам, они не уравновешиваются. Например, при взаимодействия некоторого тела А и точки М , которая имеет массу m , точка получает ускорение. Тело А действует на точку М с силой F=-ma . По закону действия и противодействия материальное точка М действует на тело А с силой Ф=-F=-ma , которая называется силой инерции.
Сила инерции или сила Даламбера - векторная величина, имеющая размерность силы, по модулю равна произведению массы точки на ее ускорение, и направлена противоположно этому ускорению.
Принцип Даламбера для материальной точки
Если в любой момент времени к фактически действующим на материальную точку силам добавить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной.
Это означает, что для решения задачи динамики по принципу Германа - Эйлера - Даламбера следует, помимо приложенных к точке сил, условно приложить к этой точке силу инерции. приложение силы инерции к точке является условным приемом, сводящим задачу динамики лишь по форме решения к задаче статики.
Принцип Даламбера для системы материальных точек
Если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и для нее можно будет применить все уравнения статики.
Принцип Даламбера для несвободной механической системы
В любой момент времени для каждой точки несвободной механической системы, кроме фактически действующих на нее сил, добавить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и для нее можно будет применить все уравнения статики.
То есть, в любой момент времени для каждой точки несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов заданных сил, реакций опор и сил инерции материальных точек системы равна нулю.
В любой момент времени для любой точки несвободной механической системы геометрическая сумма главных моментов заданных сил, реакций опор и сил инерции материальных точек системы относительно любого неподвижного центра равна нулю.
Обобщенная форма уравнений равновесия по принципу Даламбера
Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду.
Случаи приведения системы сил инерции твердого тела простейшему виду.
Поступательное движение
При поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся до одной равнодействующей, проходящей через центр масс тела, и равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и направленной противоположно этому ускорению.
Вращения вокруг центра масс нет, поэтому момент силы инерции равен нулю.
Вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси проходящей через центр масс тела, то силы инерции приводятся к одной паре сил, лежащей в плоскости перпендикулярной оси вращения.
Поскольку центр масс не движется главный вектор сил инерции равен нулю.
Плоскопаралельний движение
При плоском движении тела система сил инерции приводится к силе, приложенной в центре масс тела и паре сил. Направление момента силы инерции противоположен угловому ускорению тела.
Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений в общем виде определяет условия равновесия любой механической системы, то есть позволяет решать задачи статики, как задачи динамики.
Перемещение точек несвободной механической системы ограничено имеющимися связями. Положение точек системы определяется заданием независимых координат.
Независимые величины, заданием которых можно однозначно определяется положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Как правило, число обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы. Например, положение всех точек кривошипно-шатунного механизма определяется заданием угла поворота кривошипа.
Возможные или виртуальные перемещения
Возможные или виртуальные перемещения системы - это воображаемые бесконечно малые перемещения точек системы, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.
Криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательной к траекториям точек.
Число независимых между собой возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы.
Возможная или виртуальная работа
Возможная (или виртуальная) работа − это элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки.
Принцип возможных перемещений для механической системы
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма робот всех активных сил при любом возможном перемещении системы равнялась нулю.
Уравнение возможных работ − математическое выражение необходимого и достаточного условий равновесия любой механической системы.
Общее уравнение динамики
Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)
Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики. На основании принципа Германа—Эйлера—Даламбера для несвободной механической системы в любой момент времени геометрическая сумма равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакций связей и силы инерции для каждой точки Mn механической системы равна нулю.
Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка имеет возможное перемещение, то сумма работ этих сил на перемещении должна быть равна нулю.
Общее уравнение динамики для системы с идеальными связями
Положим, что все связи в рассматриваемой механической системе двусторонние и идеальные (силы трения, если они имеются, отнесены к числу задаваемых сил). Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях системы равна нулю.
При движении механической системы с идеальными связями в любой данный момент времени сумма элементарных робот всех активных (заданных) сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равняется нулю.
Общие уравнения динамики позволяют составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных твердых тел, то силы инерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения. Чтобы воспользоваться принципом возможных перемещений, к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силу и пару, составленные силами инерции точек тела. Затем системе сообщают возможное перемещение и для всей совокупности задаваемых сил и приведенных сил инерции составляют общее уравнение динамики
Формат: pdf
Размер: 600КВ
Язык: русский, украинский
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
